黎曼函數(shù)（Riemann function）是一個特殊函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)提出，黎曼函數(shù)定義在[0,1]上，其基本定義是：R(x)=1/q，當(dāng)x=p/q(p,q都屬于正整數(shù)，p/q為既約真分?jǐn)?shù))；R(x)=0，當(dāng)x=0，1和(0,1)內(nèi)的無理數(shù)。黎曼Zata函數(shù)（s）的定義如下：設(shè)一復(fù)數(shù)s其實數(shù)部分＞1而且：

定義在區(qū)間[0,1]上的函數(shù)R(x)：

當(dāng)x=p/q(p,q都屬于正整數(shù)，p/q為既約真分?jǐn)?shù))時，R(x)=1/q；

當(dāng)x=0,1和無理數(shù)時，R(x)=0稱為黎曼函數(shù)

從黎曼函數(shù)的定義可，它具有如下一些特征：

（1）黎曼函數(shù)是區(qū)間[0,1]上的有界函數(shù)，其上確界是1/2，下確界是 0 ，其值域只有一個，聚點是0，它也是數(shù)列{1/q}的極限值，其中q為自然數(shù)。

（2）黎曼函數(shù)在有理點的圖象關(guān)于直線x0=1/2對稱。

（3）對于 ，使得R(x)=R（p/q）=1/q>ε）的區(qū)間(0,1)中的有理數(shù)只有有限多個。

使用示例

黎曼zeta函數(shù)參數(shù) =55

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逼近的Zeta函數(shù) (55) = 1, n=20000